ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់
ចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់(Line-plane intersection) អាចជាសំនុំទទេ ចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់មួយ ។
ទំរង់ប៉ារ៉ាម៉ែត[កែប្រែ]
បន្ទាត់មួយត្រូវរៀបរាប់ដោយគ្រប់ចំនុចដែលជាទិសដៅដែលផ្តល់ ពីចំនុចមួយ ។ ដូចនេះ បន្ទាត់អាចសំដែងរាងជា
![{\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d92877a87fafb6c52d212fa77da19cda0f14fd6)
ដែល
និង
ជាចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ ។
ដូចគ្នាដែរ ចំពោះប្លង់
![{\displaystyle \mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ab804be5e27254a41b3b086978cf0dee130adf)
ដែល
,
ជាបីចំនុចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើកូលីនេអ៊ែ(ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។
ចំនុចដែលជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ ត្រូវគេរៀបរាប់ដោយដាក់សមីការបន្ទាត់ស្មើនឹងសមីការប្លង់ ក្នុងទំរង់ជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត
![{\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06daa980b4022cdc5078c6c97fba15e8e48e98ca)
វាអាចត្រូវគេសំរួលជា
![{\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b36d3fda12ec4ea993c6930c310c46dbc9f8c4)
ដែលអាចដាក់ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស ជា
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6271f6ee119162a31f37a8bd5e02c9688c0b593c)
ចំនុចប្រសព្វគឺ
![{\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ecc40703a54bf49c262c919527a1050e31c8c9)
បើបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ នោះវ៉ិចទ័រ
,
និង
ជាលីនេអ៊ែពឹងពាក់គ្នា ហើយម៉ាទ្រីសជាម៉ាទ្រីសទោល ។ ចំលើយនេះកើតឡើងក្នុងករណីបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ។
បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ
នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រវាង
និង
។
បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់
![{\displaystyle u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd441e49948502dd23b3f5a74ac8921dc9404f1)
នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណដែលបង្កើតដោយបីចំនុច
,
និង
។
បញ្ហានេះជាទូទៅត្រូវគេដោះស្រាយដោយសំដែងវា ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស និងម៉ាទ្រីសច្រាស
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46d63399cc6c4986a4d8f2678d3d53c54b60a8d)
សមីការប្លង់អាចត្រូវគេកំនត់ដោយ
![{\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {n} =d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358ca191867493fc68c95dd03b26bb447d9ec729)
ដែល
ជាចំនុចមួយនៅលើប្លង់ ហើយ
ជាវ៉ិទ័រណរម៉ាល់នឹងប្លង់ ។ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់អាចត្រូវរកឃើញដោយ
and
។
ដោយដាក់បញ្ចូលសមីការបន្ទាត់ វាអោយ
![{\displaystyle (\mathbf {l} _{a}+t(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}))\cdot \mathbf {n} =d\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62213f1abdac8f6c83b765dae64092e84b8b24d1)
និង
។
ក្នុងរាងជាកូអរដោនេ បើ
នោះសមីការប្លង់សំដែងដោយ
![{\displaystyle ax+by+cz=d\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2ecac2f60150e5c228f10e50133b72909d2616)
និង
![{\displaystyle t={-d-ax_{a}-by_{a}-cz_{a} \over a(x_{b}-x_{a})+b(y_{b}-y_{a})+c(z_{b}-z_{a})}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea657bbed87ff586eeeb05211b7e4674f1c9eed)
បើទិសដៅនៃបន្ទាត់
កែងនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ ។ បើ បន្ទាត់ស្ថិតក្នុងប្លង់ នោះទាំងភាគបែង និងភាគយកស្មើនឹងសូន្យ សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ t ។