members.dirtgame.net
- គេមានអនុគមន៍ f(x) ដែលជាប់នៅចន្លោះ [a, b], គេចែកចន្លោះ[a, b] ជា n ផ្នែកស្មើៗគ្នាតាមលំដាប់ x0(=a), x1, x2, ..., xn(=b) និង តាង
នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{-a}^{b}f(x)\,dx\,\!=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\bigtriangleup x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\bigtriangleup x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2830d87c833b7405ba82042f54eb59b31b2ae405)
![{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx\,\!=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab64dbfe9f9036764dc9c4dded343d08afcf46b3)
- ប្រសិនបើ b < a នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930f56a2803bc08a01ca747ee4d8a1146bc49fcc)
រូបមន្ត Newton-Leibnitz[កែប្រែ]
គេអោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b] និង F(x) ជាព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ f(x)។ គេបាន
លក្ខណៈនៃអាំងតេក្រាលកំនត់[កែប្រែ]
គ្រប់ចំនួនពិត C គេបាន
![{\displaystyle \int _{a}^{b}Cf(x)\,dx\,\!=C\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b28841906a7882ff8ee31b7c7ec78f934a4e789)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930f56a2803bc08a01ca747ee4d8a1146bc49fcc)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{(f(x)\pm g(x))}\,dx\,\!=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\pm \int _{a}^{b}g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a725f09836921027dce5555d393b68b76aeef006)
- ប្រសិនបើ f(x) ≤ g(x) នៅចន្លោះ [a, b] គេបាន
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200cec19e9879880fb9c48964585156b8447dc54)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=\int _{a}^{b}f(u)\,du=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4443b2f1eb6d0f0c0a6f3ef3b839ed3e9cd4f268)
- f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ នោះគេបាន
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,\!=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8938c8f423474d987710af0b00e62f493c32b086)
អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក[កែប្រែ]
- គេអោយ u=u(x) និង v=v(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើចន្លោះ [a, b] នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv\,\!=[u.v]{_{a}^{b}}-\int _{a}^{b}v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5386e32890443782bb3bf7ba8a0d8ed60c7b2d2c)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x).g'(x)\,dx\,\!=[f(x).g(x)]{_{a}^{b}}-\int _{a}^{b}f'(x).g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c039726d727b0ee13cc4d1c2272134bb3597d2a1)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=[x.f(x)]{_{a}^{b}}-\int _{a}^{b}x.f'(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779022b1b7158b6ebe6c89dd6538d1a6fa2c8233)
វិធីសាស្ត្រគណនាអាំងតេក្រាលកំនត់មួយចំនួន[កែប្រែ]
ក) គណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង
គេបាន I + J = b - a និង I - J = ...? រួចគណនា I ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ
សំគាល់: គេប្រើវិធីសាស្រ្តនេះគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង
និង
ដែល
រឺ
និង
ដែល
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង
រួចគណនា I, J ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
ខ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [-a, a]។ គេតាង
- បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍គូលើ [-a, a] នោះគេបាន
![{\displaystyle I=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ebec48c929fd87a04af55e188f65028139a571)
- បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍សេសលើ [-a, a] នោះគេបាន I = 0
- -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន
![{\displaystyle \color {blue}I=\int _{-a}^{0}f(x)\,dx+\int _{0}^{a}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea02f371347cbb102c8386222d1ee3f1fdb3c56)
- ចំពោះ
គេតាង ![{\displaystyle t=-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e4b989011d7250d7078694b432869ec941f875)
គ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b]។ គេបាន
- -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង
![{\displaystyle t=a+b-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e94c777699dbdca82b817489ba54bf3c12f1f7e)
សំគាល់: គេច្រើនប្រើវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែល:
រឺ
រឺ ![{\displaystyle a+b={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f0cfc96a4e64f7ca39725514192b003fd3bfdc)
ឃ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍ជាប់ និងជាអនុគមន៍ខួបមានខួប T។ បង្ហាញថា
- -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = x - T
ង) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់។ បង្ហាញថា:
- -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន
![{\displaystyle \int _{a}^{2a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{2a}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908e1da5ea927560a6f8d33cbe4d5d5e7bea7dbd)
ចំពោះ
គេតាង t = 2a - x
ច) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ f(a+b-x) = f(x)ដែល a, b ជាចំនួនគេស្គាល់ជាមុន។ បង្ហាញថា
- -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = a + b -x
ឆ) គេអោយ b ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង f ជាអនុគមន៍ជាប់និងជាអនុគមន៍គូលើ[-a, a]។ បង្ហាញថា
- -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន
![{\displaystyle \int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx=\int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5011959aca908d51a6f23628917213dbc62b347f)
ចំពោះ
គេតាង t = -x
អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន[កែប្រែ]
- គេមាន n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}sin^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}cos^{n}x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123331386a7adb4b607570413bb05cb71986646d)
- ក). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}sin^{n}x\,dx={\frac {n-1}{n}}.{\frac {n-3}{n-2}}.......{\frac {3}{4}}.{\frac {1}{2}}.{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c2ac51aa95db62c1c87c2bc75c3cc62c738160)
- ខ). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}sin^{n}x\,dx={\frac {n-1}{n}}.{\frac {n-3}{n-2}}.......{\frac {2}{3}}.1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927ff53446196ae343c059ee9af084a41a098548)
សំរាយបញ្ជាក់
1. តាង
នោះគេបាន
នៅពេល
និង
នៅពេល
![{\displaystyle \therefore \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}dx=\int _{\frac {\pi }{2}}^{0}\sin ^{n}({\frac {\pi }{2}}-t)(-1)dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}({\frac {\pi }{2}}-t)dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}tdt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b025f6082b3c6e4e564ebb70b3e4b3e34e4146)
2. តាង
ចំពោះ
គេបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x(-\cos x)'dx=[\sin ^{n-1}x(-\cos x)]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cdot \cos ^{2}xdx\\&=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x(1-\sin ^{2}x)dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d653492c677652cd2ef34a2ef397aa8d1c74eae5)
![{\displaystyle \therefore nI_{n}=(n-1)I_{n-2}\qquad \Rightarrow I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot I_{n-2}\qquad \circledast }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b8a5a727535a0b131966117568cdc5389bc044)
គេបាន
ដូចនេះគេបាន
កំនត់ដោយ
- ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ គេបាន
![{\displaystyle I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots \cdots {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b6c316f4d8c2548cf56d6b787fb519482c2678)
- ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស គេបាន
![{\displaystyle I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots \cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4256451c9c60f4a8d12ed1ddac82f00244728479)
ឧទាហរណ៍៖
សូមមើលផងដែរ[កែប្រែ]