ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ[កែប្រែ]
គេមានចំនួនពិតថេរ C ។ សន្មតអនុគមន៍ថេរ f មានតំលៃស្មើ C គេបាន៖
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R^{*}} ,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {C-C}{h}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c223c495187bfda2eb60b254ffd27561f5ff9e2b)
ដូច្នេះ
។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចំនួនថេរគឺស្មើសូន្យ។
ឧទាហរណ៍៖គណនាដេរីនៃ f(x) = 25 ។
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-25}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(25-25)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {0}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b630044d90bbf5148198955c9bb1c80020ef85)
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី១[កែប្រែ]
គេមានក្រាបនៃអនុគមន៍ f(x) = 5x - 1 ។ គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃក្រាប f(x) ត្រង់ចំនុចដែលមានកូអរដោនេ (2,6)។
គេបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(2)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(2+h)-f(2)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {5(2+h)-1-(5\cdot 2-1)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {10+5h-1-10+1}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {5h}{h}}\\&=5\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df4a347caedb88ca69d355dbe8c693ab7bae8fd)
ដូចនេះតំលៃនៃមេគុណប្រាប់ត្រង់ចំនុចមួយនៃអនុគមន៍ជាតំលៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រង់ចំនុចនោះ។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី២ (អនុគមន៍ការ៉េ)[កែប្រែ]
ឧបមាថាគេមានអនុគមន៍ f កំនត់លើ
ដោយ
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb1453d1478cd6380058a074a994271ea3c7c38)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R} ^{*},{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af41c3568b71d2f8166a973b6bdf5f805ab282bb)
គេអាចកំនត់មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោងតាមរយៈដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោង f(x) = x2 កំនត់ដោយ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ចំពោះគ្រប់តំលៃ x, មេគុណប្រាប់ទិសនៃអនុគមន៍
គឺ
។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី n[កែប្រែ]
សំរាយបញ្ជាក់ :
គេមានអនុគមន៍ f:
កំនត់លើ
ដែលមេគុណ
ត្រូវបានអោយដោយត្រីកោណប៉ាស្កាល់ (
និង
)។ គេអាចបំបាត់
តាម
។
ដូចនេះ :
សំគាល់: អនុគមន៍គ្រប់ n អាចអោយគេរកបាននូវដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ និងរឺសទី n របស់វា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ
នោះអនុគមន៍នឹងមិនមានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។
ឧទាហរណ៍ដេរីវេរីនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី៣[កែប្រែ]
ចូរគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម
១.
២.
៣.
ដេរីវេ:
១..
២..
៣.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញារឹស √[កែប្រែ]
ឧបមាគេមានអនុគមន៍
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall h\in \mathbb {R} ^{*},h>-x,f'(x)=\quad {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c1df18a461ccaba4e9be2132818e73aed63ba3)
![{\displaystyle ={\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cf48af5fafcd97b819934452141178cd30663c)
![{\displaystyle ={\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6ca38605bf8b3f3908e0f4b402c243fd9aa7f4)
គេបាន
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb6a7899aa6d791fff91b8e39f3b3eabbe12604)
ម្យ៉ាងទៀត
![{\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} _{+}^{*},{\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa935e9988a1ed86461cc4d6bf549395c39298e)
ដូច្នេះ f គ្មានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។
- ដូចគ្នាដែរចំពោះឧទាហរណ៍ខាងលើ ប៉ុន្តែឥឡូវយើងរកដេរីវេនៃដេរីវេ (មានន័យថារកដេរីវេទី២នៃអនុគមន៍
)
ឧបមាថាគេមាន
:
នោះគេបានដេរីវេទី២នៃ f(x) កំនត់ដោយ
![{\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {1}{\sqrt {x+h}}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x+h}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x+h}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}\times {\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+h}}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+h}}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {x-(x+h)}{x{\sqrt {x+h}}+(x+h){\sqrt {x}}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2}}\left({\frac {-1}{x{\sqrt {x+h}}+(x+h){\sqrt {x}}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {-1}{x{\sqrt {x}}+x{\sqrt {x}}}}\right)\\&=-{\frac {1}{4x{\sqrt {x}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47772a036bdf3ee0a6dc5f4693cb74a8c70aaf9e)
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលមានស្វ័យគុណជាចំនួនពិត b[កែប្រែ]
គេមានអនុគមន៍ y ដែល
![{\displaystyle y(x)=ax^{b}\qquad a\not =0,b\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b55c7d169fdc97089acb2f8835011f32f381fa)
នោះគេបានដេរីវេបន្តបន្ទាប់នៃ y កំនត់ដោយ
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'(x)&=abx^{b-1}\\y''(x)&=ab(b-1)x^{b-2}\\y'''(x)&=ab(b-1)(b-2)x^{b-3}\\y^{(4)}(x)&=ab(b-1)(b-2)(b-3)x^{b-4}\\\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \\y^{(n)}(x)&=ab(b-1)(b-2)(b-3)\cdots (b-n+1)x^{b-n}\\&=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27724a3d8cd800e283fd5033f3a2464067a18d3d)
ដូចនេះគេបានដេរីវេទី n នៃ y ត្រូវបានផ្តល់អោយនៅលើចន្លោះកំនត់ជាក់លាក់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad :\qquad y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79323fbab5b284f5d0ce74234e0ec284632332d9)