ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍បែតា ឬហៅថាអាំងតេក្រាលអយលឺនៃប្រភេទទី១ (អាំងតេក្រាលអយល័រ, Euler integral) គឺជាអនុគមន៍កំនត់ដោយ
![{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72079677c102d13255997ca503995071751bc415)
ចំពោះ
អនុគមន៍បែតាត្រូវបានសិក្សាដោយអយល័រ (ឬអឺលែរ) និង គណិតវិទូបារាំង អាដ្រៀន ម៉ារី ឡឺហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre) និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយគណិតវិទូ រូបវិទូ និង តារាវិទូ ជនជាតិបារាំង លោក ហ្សាក់ ប៊ីណេ (Jacques Binet) ។
លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតា[កែប្រែ]
អនុគមន៍បែតាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រី មានន័យថា
អនុគមន៍បែតាមានទំរង់ជាច្រើនរួមមាន:
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01202c6e3868b71190975ab80f2c2796d01bd473)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc06616a5cce8c631b162f19e91ac2a1c8f406c1)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cacdda6c0e0a4ee8d245ffe5480263e51a1f490)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852c5402c1233d50b73c944e171dc2859bf94da4)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defb323069f9733947f3abcd1e939a46e8c0030b)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999c12724016ce59cb63622ed64371a934708fe3)
ដែល
គឺជាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (gamma function) ។ សមភាពទី២បង្ហាញករណីពិសេស
។
ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍បែតា និង អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា[កែប្រែ]
ដើម្បីទាញរកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បែតា យើងត្រូវសរសេរផលគុណហ្វាក់តូរ្យែលជា
![{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7569050c94b62e8d9b39a903082e66402794b4e)
តាង
និង
យើងបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db\end{aligned}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0db6a8e7601c47019c396dcd0fefa8f5efb7798)
បំលែងវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេប៉ូលែរដោយ
និង
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3032882acf108b13807a940020227096f274f2d8)
ហេតុនេះ សរសេរឡើងវិញនូវអាគុយម៉ង់ជាមួយនឹងទំរង់ធម្មតានៃអនុគមន៍បែតា យើងបាន
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1159a9864d1aa0f86171c7c427d3ff3c04253a90)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\Gamma (x)\Gamma (y)}&{}=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\int _{0}^{\infty }s^{y-1}e^{-s}\,ds\\&{}=\int _{t=0}^{\infty }\int _{s=0}^{\infty }\ t^{x-1}s^{y-1}e^{-(t{+}s)}\,ds\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eb9385ea10d7e8b6e312b747dcad5e064d334f)
អាគុយម៉ង់ក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជំរុញអោយយើងប្រើវិធីជំនួស
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{l}\sigma =s{+}t\\\tau =t\end{array}}\quad \Rightarrow \quad |J|=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34384cbd550e1ee404f89e906e9cc8d61e3f1ad2)
ដែល
ជាយ៉ាកូប៊ីនៃបំលែង។ ដោយប្រើបំលែងនេះយើងទាញបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{\sigma =0}^{\infty }\int _{\tau =0}^{\sigma }\ \tau ^{x{-}1}(\sigma {-}\tau )^{y-1}e^{-\sigma }\,d\tau \,d\sigma \\&{}=\int _{\sigma =0}^{\infty }\int _{\tau =0}^{\sigma }\ \tau ^{x{-}1}\,\sigma ^{y{-}1}\,{\Big (}1{-}{\frac {\tau }{\sigma }}{\Big )}^{y{-}1}e^{-\sigma }\,d\tau \,d\sigma \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8f4f51a402e7ffd74a9112febf090447a265d9)
ដោយប្រៀបធៀបនឹងអនុគមន៍បែតា
យើងបាន
ដែលយ៉ាកូប៊ី ![{\displaystyle \ |J|=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885367f7bbf4e08b80076646e5ce2d9891d8e54d)
គេទាញបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{q=0}^{\infty }\int _{r=0}^{1}\,q\ (rq)^{x{-}1}\,q^{y{-}1}\,(1{-}r)^{y{-}1}\,e^{-q}\,dr\,dq\\&=\int _{q=0}^{\infty }\int _{r=0}^{1}\ r^{x{-}1}\,(1{-}r)^{y{-}1}\,q^{x{+}y{-}1}\,e^{-q}\,dr\,dq\\&=\int _{0}^{\infty }q^{x{+}y{-}1}\,e^{-q}\,dq\ \int _{0}^{1}r^{x{-}1}(1{-}r)^{y{-}1}\,dr\\&=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1131d2484a418b283375ea2621dcce188073687e)
ដេរីវេនៃអនុគមន៍បែតា[កែប្រែ]
ដេរីវេនៃអនុមន៍បែតាកំនត់ដោយ
![{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aabd5af6a03a77a3c49d6358c38280e0e66921a)
ដែល
ជាអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា (digamma function) ។
អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ[កែប្រែ]
អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍បែតាដែលជំនួសអាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍បែតាដោយអាំងតេក្រាលមិនកំនត់។ ករណីនេះគឺដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ហ្គាំម៉ាមិនពេញលេញដែរ ដែលវាជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា។
អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញកំនត់ដោយ
![{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afd2a5206e27224972ebee062954048669cee7d)
ចំពោះ
អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញត្រូវគ្នានឹងអនុគមន៍បែតាពេញលេញ (មានន័យថាវាជាអនុគមន៍បែតា) ។
អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញដែលត្រូវបានគេធ្វើអោយទៀងទាត់ត្រូវបានគេកំនត់ជាអនុគមន៍នៃអនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ និង អនុគមន៍បែតាពេញលេញ។
![{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4739f36b85fafece7d30da79220eea56891b6ae)
ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល (ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក) ចំពោះតំលៃជាចំនួនគត់ a និង b គេបាន
![{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760263ab341aa25390e1a8a76200c62e806c50a2)
លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ[កែប្រែ]
![{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09e8c4cea315a8dcd79c2e1a834cd830a3aa60b)
![{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5467ac72209d5333631da260e0be1ea0636bb2e2)
![{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8299bb4d5e5934da1d9ba1faa1b806ad92def9)